惠州網(wǎng)站建設(shè)需要多少錢（度量空間,賦范線性空間,內(nèi)積空間的關(guān)系）度量空間,賦范線性空間,內(nèi)積空間的聯(lián)系，
集合可能是最為基本的概念了，也就是一些元素組成的數(shù)據(jù)集，集合的特點就是元素的無序性，唯一性和確定性現(xiàn)在在集合概念的基礎(chǔ)上加一個條件，就是元素之間有關(guān)系了，只要討論到元素之間的關(guān)系，這時候的集合的概念就升級了，升級到空間了，換句話話說，元素之間有關(guān)系的集合就是空間。
那么這個關(guān)系是什么呢？那就看定義了，不同的關(guān)系就對應(yīng)不同的空間 如果對于集合的元素，定義任何兩個元素之間有距離，那么這個集合就是度量空間這個距離的具體定義是：距離是一個實函數(shù)，其自變量就是集合中的任意兩個元素，那么這個實函數(shù)定義的時候并不給出具體公式，而是給出實函數(shù)滿足的性質(zhì)，就是非負性，三角不等式，兩個元素相等的時候，距離為0，也就這3個性質(zhì)。
只要滿足上面3個性質(zhì)的任何實函數(shù)都是度量空間的距離，因此定義不同的距離，對應(yīng)不同的度量空間我們特別關(guān)注三角不等式 ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y) ho(x,y) le ho(x,z)+ ho(z,y)。
可以看出任何距離都是兩個元素的實函數(shù)，至于這些元素具體是什么，并不考慮；其次這個不等式對于集合中的任何兩個元素都成立還有一個特別指出，一旦集合中定義了距離就是度量空間了，而一旦是度量空間，那么其中的元素名稱升級了，可以稱為點了，而度量空間中一些元素的集合稱為點集，這樣一來，怎么感覺度量空間是從實數(shù)直線衍生出來的呢？直線上的點集和度量空間的點集類似??！的確如此，就這么來的，其實實數(shù)直線不就是定義了距離的實數(shù)集合嘛！下面我們看看賦范線性空間。
首先賦范線性空間第一是線性空間，一提到線性空間，馬上明白這是一個定義了加法和數(shù)乘的集合，而賦范線性空間是定義了范數(shù)的線性空間，那么范數(shù)怎樣定義的呢？具體是一個元素對應(yīng)的實函數(shù)，具有非負性，一個元素的范數(shù)為0的充要條件是元素為0，齊次性以及三角不等式。
只要線性空間的元素滿足上面的性質(zhì)的實函數(shù)就稱為該元素的范數(shù)我們關(guān)注對應(yīng)的三角不等式是： ||x+y||≤||x||+||y||||x+y|| le ||x||+||y|| 我們比較距離和范數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，距離指的是兩個元素之間的關(guān)系，而范數(shù)指的是一個元素本身的性質(zhì)。
另外范數(shù)的三角不等式中 ||x+y||||x+y|| 之所以成立是因為賦范線性空間中定義了兩個元素的相加，因此 x+yx+y 是有意義的，但是在度量空間中， x+yx+y 沒有意義，因為度量空間沒有定義任意兩個元素之間的運算。
到現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)，由于集合元素完全不知道它們是什么東西，但是我們都可以用它們作為自變量定義實函數(shù)，因為實函數(shù)是可以進行四則運算的，也就是將變化無窮的集合元素統(tǒng)一到實數(shù)上來研究到現(xiàn)在為止，我們發(fā)現(xiàn)距離、范數(shù)和測度都是定義在一個集合上的元素對應(yīng)的實數(shù)，只不過定義測度的時候，其元素一定是集類中的集合，也就是一個集合對應(yīng)一個實數(shù)，而距離和范數(shù)沒有這個要求，還有一個重大區(qū)別就是測度可以實函數(shù)，還可以取值為 。
?∞,+∞,-infty,+infty, 但是距離和范數(shù)絕對不可以取，否則三角不等式是無法滿足的，根本的原因是兩個 ∞infty 是不能運算的，我們此處假設(shè)測度不取無窮值，那么測度和距離和范數(shù)就一樣是實函數(shù)了。
既然實函數(shù)就可以做四則運算 我們要進一步闡述，也就是這些實函數(shù)，即距離，范數(shù)和測度，我們并沒有給出具體定義公式，而是給出需要滿足的性質(zhì)，只要滿足給定的性質(zhì)即可好處就是抽象，包含的范圍廣，給出這些原則定義后，可以根據(jù)這些性質(zhì)自由定義具體的距離，范數(shù)和測度了。
當我們給出距離定義應(yīng)該滿足的性質(zhì)以后，我們突然腦洞打開，原來極限的概念，不僅僅限于微積分中的極限的概念了，完全可以自由定義兩個元素之間的距離，極限是按照定義的距離計算，函數(shù)列的收斂也可以按照定義的距離計算收斂性，也就是我們在微積分學(xué)習(xí)的極限的概念都是自變量是實數(shù)，因變量也是實數(shù)，極限就是自變量實數(shù)趨于某一個實數(shù)時候，函數(shù)值趨于某一個實數(shù)，也就是計算簡單的兩個實數(shù)差，例如
limn→∞xn=xlim_{n ightarrow infty}x_n=x ，實質(zhì)就是 n→∞n ightarrow infty , |xn?x|→0|x_n-x| ightarrow 0
也就是原來的距離就是實數(shù)的差，現(xiàn)在有了度量空間的距離概念以后，元素就不僅僅是實數(shù)，可以為任何一個抽象的目標，那么 xnx_n 和 xx 相減就可能沒有任何意義，但是定義了距離以后 ρ(xn,x) ho(x_n,x)。
， xnx_n 和 xx 之間的距離就代替了原來的相減，概念的外延擴大了也就是定義了度量空間的距離以后，將原來微積分的極限的概念推廣到了任意集合中元素之間的關(guān)系上去了同樣，我們在歐氏空間可以任意定義距離，改變傳統(tǒng)極限的概念。
我們前面說了，度量空間從實數(shù)直線推廣而來的，于是直線上的開集，閉集等等所有直線上的點集性質(zhì)都可以移植到度量空間上來 如此一來，范數(shù)必須是在線性空間中才能定義，否則三角不等式兩個元素相加沒有來源，而距離可以在任何一個空間，甚至任何一個集合中定義。
因此距離空間即度量空間，它的概念最低等，要求最少另外我們當然可以在賦范線性空間中定義距離，比如 ρ(x,y)=||x?y|| ho(x,y)=||x-y|| 就是由范數(shù)給出的一個距離定義，可以證明這個定義滿足距離的三個性質(zhì)，由此在賦范線性空間中，我們也可以討論基于范數(shù)的極限和元素列收斂問題等等。
需要特別指出的是，教材有這么一段話“我們今后對每一個賦范線性空間，總是按照(4.2.3)引入距離，使之成為度量空間”此處的(4.2.3)指的是ρ(x,y)=||x?y|| ho(x,y)=||x-y||
，這段話特別重要，因為以后我們再談到賦范線性空間的時候，都默認距離是上面這樣根據(jù)范數(shù)定義的，也就是賦范線性空間都是已經(jīng)根據(jù)范數(shù)定義好了距離的，因此當然可以在賦范線性空間中討論極限等問題了如果不注意這個說明，就麻煩了。
此處我們還想討論一下，所有的賦范線性空間里面可以定義距離，因此賦范線性空間都是定義距離的度量空間，也就是度量線性空間，那么所有的度量線性空間是否都是賦范線性空間呢？回答是否定的，因為范數(shù)的定義需要滿足齊次性
||αx||=|α|||x||||lpha x|| = |lpha|||x|| ，這就決定了很多距離的定義不滿足這個性質(zhì)，也就是 ρ(αx,0)≠|(zhì)α|ρ(x,0) ho(lpha x,0) e |lpha| ho(x,0)
，比如 ρ(x,y)=|x?y|/(1+|x?y|) ho(x,y) = |x-y|/(1+|x-y|) 這個距離的定義就不滿足范數(shù)的齊次性條件，這是要注意的 空間的定義都應(yīng)該在歐氏空間的基礎(chǔ)上擴展，不能和歐氏空間矛盾，是歐氏空間概念的推廣。
距離的定義，范數(shù)的定義都是歐氏空間相應(yīng)概念的推廣和進一步抽象，有了這種抽象以后，應(yīng)用范圍極大的推廣了只要有意愿都可以推廣，比如一個學(xué)生班級的學(xué)生姓名集合，我們也可以定義姓名之間的距離，如果能夠充分想象，我們也可以根據(jù)這個距離定義姓名序列的極限，也就是這種推廣給我們解決具體問題提供了數(shù)學(xué)工具，剩下的就看應(yīng)用者能否靈活應(yīng)用了。
也就是先定義距離和范數(shù)，只要定義的合理了，我們就能將微積分和高等代數(shù)的一套理論完全搬過來用，這就是創(chuàng)新，所謂的大家就是合理的定義，接著能將一套數(shù)學(xué)理論用起來，在現(xiàn)實生活中解決了問題 總結(jié)一下，在集合中引入了距離的概念，就相當于在一個集合中引入了二元函數(shù)，但是不給出具體形式，只給出具體性質(zhì)，在線性空間中引入范數(shù)，將相當于引入一元函數(shù)；環(huán)中引入測度，就相當于引入的集類的函數(shù)，注意這個函數(shù)就是給定一個元素，就會映射到一個實數(shù)值。
有了這些函數(shù)的定義，我們就可以研究集合中元素之間的關(guān)系了，因為可以通過比較函數(shù)值就可以考察集合中元素的關(guān)系最典型的關(guān)系就是收斂性，一個集合中的一個元素列是否收斂于一個元素，那么就可以借助對應(yīng)的函數(shù)實數(shù)列是否收斂來考察，于是就出現(xiàn)了以距離收斂，以范數(shù)收斂和以測度收斂的說法。
之所以這樣就是因為我們太熟悉實數(shù)了，轉(zhuǎn)化為實數(shù)考察元素就有了研究這些元素關(guān)系的抓手，當然所有的開集，閉集，有界性等等一切一切都是用這些實函數(shù)作為抓手來研究集合元素的關(guān)系了，也就是空間的結(jié)構(gòu)了一談到點列的收斂，我們應(yīng)該保持一種警惕性，立刻就要問是以距離收斂，以測度收斂還是以范數(shù)收斂，而且還要進一步問具體的距離，范數(shù)和測度定義的公式是什么？只有這樣問，才能保證概念的清晰性。
除了以上三種類型的收斂，還有一種收斂也就是以拓撲收斂，這又是怎么回事呢？ 現(xiàn)在來談?wù)勍負淇臻g我們知道度量空間的開集是有了距離的定義才有的概念，沒有距離的概念，就沒有極限點的概念，沒有環(huán)境的概念，沒有內(nèi)點的概念，因此也就沒有開集的概念，而有了開集的概念以后，才有閉集，致密集，緊集等等概念，同時開集也可以看作環(huán)境。
因此開集的概念很重要，其實根據(jù)定義的距離收斂，也可以看作依據(jù)環(huán)境的收斂這個很重要，因為定義距離條件太苛刻了，它要滿足三角不等式，而且是非負實函數(shù)在有的情況下，不定義距離是否可以一樣有類似度量空間的一些類似性質(zhì)呢？這就出現(xiàn)了拓撲空間，上面的討論可以看出，開集是非常重要的，于是我們給定一個集合，。
在這個集合里面指定一些子集是開集，那么這個集合里面的元素就有關(guān)系了，我們在第一節(jié)就指出，元素有關(guān)系的集合就是空間，因此我們選擇一個集合，并在這個集合里面指定一些子集為開集，組成一個集類，而且在一個集類里面的集合滿足3個性質(zhì)，就是空集和平凡子集在集類中，任意個數(shù)子集的和集與任意兩個子集的通集都在這個集類中。
如果一個集合，具有滿足上面3條性質(zhì)的集類，那么這個集合就稱為拓撲空間了，而這個集類就稱為一個拓撲對于集合中每點又有環(huán)境基的概念，于是集類中的開集，也就是環(huán)境就可以定義依拓撲收斂問題，于是也有一系列的拓撲空間的閉集，致密集，緊集等等概念。
現(xiàn)在一個問題來了，就是拓撲空間的開集到底怎么來的？這個問題是想怎么來就怎么來，只要得到一個滿足那三條的集類即可，因此當然可以使用距離定義開集，也可以使用一個什么以集合中元素定義的實函數(shù)來定義開集，也可以采用枚舉的方法定義開集。
這樣一來，拓撲空間的抽象層次就更高了為什么要再次抽象呢？教材說的很清楚，就是在集合中通過定義距離來構(gòu)建集合元素之間的關(guān)系不適用某些實際問題，也就是這種通過距離定義的空間結(jié)構(gòu)概括性太低，因為有的問題不存在這種距離。
最基本的一個例子是實函數(shù)空間中，函數(shù)列的逐點收斂于一個函數(shù)，無法在函數(shù)集合中定義距離構(gòu)建一個度量空間來表達這種收斂，也就是無法定義一個距離來描述空間的一個函數(shù)列以該距離收斂一個函數(shù) 最后要說明一點空間的記法問題。
比如度量空間 (R,ρ)(R, ho) ，拓撲空間 (S,Θ)(S,Theta) ，測度空間 (X,R,u)(X,R,u) 現(xiàn)在有一個困惑，就是空間是一個定義了元素關(guān)系的集合，那么現(xiàn)在空間有多個符號，而且還用小括號括起來，那么空間到底落實到那個集合中，比如拓撲空間是 。
SS 還是 ΘTheta ？這個問題仔細想想也很明白，就是落實在第一個字母表示的集合中，后面的都是對第一個字母表示的集合進行說明，也就是元素關(guān)系說明比如度量空間就是在集合 RR 中定義了距離 ρ ho。
的集合；拓撲空間就是在集合 SS 中定義了集類 ΘTheta 的集合；測度空間就是在集合XX 定義了可測集和測度的集合。這樣一來就很明白空間的意思了，不再糾結(jié)于到底空間是在哪個集合的基礎(chǔ)上討論的。